Corpo con manici

In geometria, un corpo con manici è uno spazio topologico ottenuto agganciando alcuni "manici" alla palla tridimensionale.

Si tratta di un oggetto usato in topologia della dimensione bassa, specialmente nello studio delle 3-varietà.

Definizione

Un corpo con ${\displaystyle k}$ manici è una particolare 3-varietà con bordo. Può essere definita in modo equivalente in uno dei modi seguenti:

• una 3-varietà con bordo ${\displaystyle M}$ contenente ${\displaystyle k}$ dischi disgiunti propriamente immersi ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{k}}$ tali che la varietà ottenuta tagliando ${\displaystyle M}$ lungo questi è omeomorfa al disco

${\displaystyle D=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ |x|\leq 1\}.}$

• la 3-varietà con bordo ${\displaystyle M}$ ottenuta scegliendo nel bordo ${\displaystyle \partial D}$ del disco ${\displaystyle 2k}$ dischi 2-dimensionali disgiunti e incollandoli a coppie;
• la somma connessa al bordo di ${\displaystyle k}$ oggetti, che possono essere tori solidi e bottiglie di Klein solide.

Il numero ${\displaystyle k}$ è il genere del corpo con manici.

Orientabilità

Il corpo con manici è orientabile se è soddisfatta una di queste richieste equivalenti:

• Il corpo con manici è omeomorfo ad un sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.
• Il corpo è ottenuto incollando dischi tramite mappe che invertono l'orientazione.
• Il corpo è somma connessa di soli tori solidi

Spesso per "corpo con manici" si intende implicitamente un corpo con manici orientabile.

Proprietà

Un corpo con manici è uno spazio compatto.

Bordo

Il bordo del corpo con manici di genere ${\displaystyle k}$ è una superficie compatta e senza bordo. Se il corpo è orientabile, la superficie è orientabile e di genere ${\displaystyle k}$. Altrimenti la superficie è non orientabile e di genere ${\displaystyle 2k}$.

Equivalenza omotopica

Un corpo con manici di genere ${\displaystyle k}$ è omotopicamente equivalente ad un grafo. La sua caratteristica di Eulero è ${\displaystyle 1-k}$.

Voci correlate

• Toro (geometria)
• Somma connessa

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Handlebody, su MathWorld, Wolfram Research.